ディジタル信号処理｜FIRとIIRの違い

今のPjに入って、数年ぶりにディジタル信号処理を勉強し直しています。

フィルタを設計するたびに、「いろんな理由があっていつもFIRを使っているけど、なんでIIRじゃだめなんだっけ？」と毎回調査しているので、今回はそれをまとめたいと思います🐜

間違っていたらごめんなさい。指摘くれると嬉しいです。

FIR

FIRは有限インパルス応答(Finite Impulse Response)の略語で、インパルス応答が有限であることを意味する¹。

差分方程式で書くと、以下の通り。

$\displaystyle y[n] = \sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

時刻 $n$ のとき、 $y[n]$ はシステムの出力、 $x[n]$ はシステムの入力、 $b_{n}$ はシステムの入力に対する係数である。

つまり、FIRフィルタでは、出力は入力の畳み込み和でのみ計算されることを示す。

IIRは無限インパルス応答(Infinite Impulse Response)の略語で、インパルス応答が無限であることを意味する²。

差分方程式で書くと、以下の通り。

$\displaystyle y[n] = \sum_{k=1}^{N}a_{k}y[n-k] + \sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

時刻 $n$ のとき、 $y[n]$ はシステムの出力、 $x[n]$ はシステムの入力、 $a_{n}$ はシステムの出力に対する係数、 $b_{n}$ はシステムの入力に対する係数である。

つまり、IIRフィルタでは、出力は入力の畳み込み和だけでなく、過去の出力の畳み込み和も使って計算されることを示す。

例として、 $M=N=2$ のときの差分方程式によるディジタルフィルタを、以下に表現する。（Zについては以降を参照）

IIRの差分方程式において、 $a_{k}$ の符号を置き換えると以下のようにかける。

$\displaystyle \sum_{k=0}^{N}a_{k}y[n-k] = \sum_{k=0}^{M}b_{k}x[n-k]$

つまりFIRとIIRの違いは、 $k=0$ を除く $a_{k}$ が、ゼロかゼロでないかであることがわかる。

ところで、Z変換³では1時刻分遅延することを以下のように書く。

$\displaystyle x[n-1] = z^{-1} x[n]$

また、 $x[n]$ をZ変換すると、以下のように書ける。

$\displaystyle Z\{x[n]\} = X(z)$

したがって、差分方程式は以下のように書き下せる。

$\displaystyle \sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k} Y(z) = \sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k} X(z)$

さらに、 $Y(z)$ について解く。

$\displaystyle Y(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}} {\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}} X(z)$

ここで、

$\displaystyle H(z) = \frac{\sum_{k=0}^{M} b_{k} z^{-k}} {\sum_{k=0}^{N} a_{k} z^{-k}}$

とすると、 $Y(z)$ は $X(z)$ を $H(z)$ 倍したものであり、このときの $H(z)$ をシステムの伝達関数と呼ぶ。

なお、Z領域は複素領域であることに十分注意すること。

FIRとIIRの特徴を比較すると以下の通り。