確率統計｜平均と分散とは - ari23の研究ノート

今回は統計の続きとして、平均と、分散または標準偏差をまとめます🐜 なお、前回の記事は以下から見てみてください。

平均

平均とは、ある集合におけるもっともよく使われる代表値¹の1つである。
平均を求める際は、必ず確率という重みを考慮する必要がある。

以降では、確率変数がデータ、離散型、連続型の3つの場合に分けて整理する。

確率変数 $X$ がデータ値 ${x_1, x_2, ..., x_n}$ であるとき、 $X$ の平均 $m$ または $E[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle m = E[X]= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k$

確率変数 $X$ が離散型で、確率関数を $P(X=x) = p_k (k=1, 2, ...)$ とするとき、 $X$ の平均 $m$ または $E[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle m = E[X]= \sum_{k}^{} x_k p_k$

上式において、 $k$ が $k=1, 2, ..., n$ で、すべての $k$ について $p_k = 1/n$ であるとき、確率変数 $X$ がデータであるときの平均と同じになることに注意すること。

確率変数 $X$ が連続型で、確率密度関数 $f(x)$ とするとき、 $X$ の平均 $m$ または $E[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle m = E[X]= \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$

分散とは、ある集合におけるばらつきを示す指標の1つであり、平均を使って定義できる。

確率変数 $X$ に対し、平均 $m$ または $E[X]$ とするとき、分散 $\sigma^{2}$ または $V[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle \sigma^2 = V[X]= E[(X-m)^2]$

また、 $\sigma$ を確率変数 $X$ の標準偏差という。

$\displaystyle \sigma = \sqrt{V[X]} = \sqrt{E[(X-m)^2]}$

平均と同様に、以降では確率変数がデータ、離散型、連続型の3つの場合に分けて整理する。

確率変数 $X$ がデータ値 ${x_1, x_2, ..., x_n}$ であるとき、 $X$ の分散 $\sigma^{2}$ または $V[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle \sigma^2 = V[X]= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (x_k - m)^2$

確率変数 $X$ が離散型で、確率関数を $P(X=x) = p_k (k=1, 2, ...)$ とするとき、 $X$ の分散 $\sigma^{2}$ または $V[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle \sigma^2 = V[X]= \sum_{k}^{} (x_k - m)^2 p_k$

確率変数 $X$ が連続型で、確率密度関数 $f(x)$ とするとき、 $X$ の分散 $\sigma^{2}$ または $V[X]$ は次式で定義する。

$\displaystyle \sigma^2 = V[X]= \int_{-\infty}^{\infty} (x - m)^2 f(x) dx$

上記をまとめると、以下の通り。

確率変数	平均 $m$	分散 $\sigma^{2}$
データ	$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} x_k$	$\displaystyle \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} (x_k - m)^{2}$
離散型	$\displaystyle \sum_{k}^{} x_k p_k$	$\displaystyle \sum_{k}^{} (x_k - m)^{2} p_k$
連続型	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx$	$\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} (x - m)^{2} f(x) dx$